數學競賽訓練題四

　　一.選擇題

　　1.設全集 = ， ， ，則 等于

　　A. B. C. D. 2. 的展開式中，含有 的正整數次冪的項共有

　　A.4項 B.3項 C.2項 D.1項

　　3.高三(10)班甲、乙兩位同學6次數學測試的成績如下表：

　　　僅從這6次考試成績來看，甲、乙兩位同學數學成績穩(wěn)定的情況是

　　A.甲穩(wěn)定 B.乙穩(wěn)定 C.甲與乙一樣穩(wěn)定 D.不能確定

　　4.設 為不同的平面， 為不同的直線，則 的一個充分不必要條件是

　　A. B. C. D. 5.在 中，已知 ，則

　　A. . B. .

　　C. D. 6.已知定義在R上的函數 滿足下列三個條件：

　�、賹θ我獾膞∈R都有 ②對于任意的 ，都有 ③ 的圖象關于y軸對稱. 則下列結論中，正確的是

　　A. B.

　　C. D. 7.A、B、C、D、E五個人住進編號為1，2，3，4，5的五個房間，每個房間只住一人，則B不住2號房間，且B，C兩人要住編號相鄰房間的住法種數為

　　A.24 B.36 C.48 D.60

　　8.橢圓 的中心、右焦點、右頂點、右準線與 軸的交點依次為O、F、A、H，則 的最小值為

　　A.2 B.3 C. 4 D.不能確定

　　9.某學校的生物實驗室里有一個魚缸，里面有12條大小差不多的金魚，8條紅色，4條黑色，實驗員每次都是隨機的從魚缸中有放回的撈取1條金魚.若該實驗員每周一、二、三3天有課，且每天上、下午各一節(jié)，每節(jié)課需要撈一條金魚使用，用過放回.則該實驗員在本周有課的這三天中，星期一上、下午所撈到的兩條金魚為同色，且至少有一天撈到不同的顏色金魚的概率是

　　A. B. C. D. 10.設方程 的兩根為 ， ( < )，則

　　A. B. C. D.

　　二、填空題

　　11.在坐標平面上，不等式組 所表示的平面區(qū)域的周長為 ▲ .

　　12.已知函數 的圖象與直線 的交點中最近的兩點間的距離為 ，則函數 的最小正周期等于 ▲

　　13.球O上兩點A、B間的球面距離為 ， 有一個內角為 ，則此球的體積是 ▲ .

　　14.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為 ，則其離心率為 ▲ .

　　15.若直線 始終平分圓 的周長，則 的最小值為 ▲ .

　　16.已知函數 ( )，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2.定義 是函數 的值域中的元素個數，數列 的前n項和為 ，則滿足 的最大正整數n= ▲ .

　　三、解答題：本大題共5小題，共70分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

　　17. 中，角A、B、C所對的邊分別為 、 、 ，已知 (1)求 的值; (2)求 的面積。

　　18. 已知 ,點 在 軸上，點 在 軸的正半軸上，點 在直線 上，且滿足 ， 。

　　(1)當點 在 軸上移動時，求 點的軌跡 的方程;

　　(2)設 為軌跡 上兩點， ， ， ，若存在實數 ，使 ，且 ，求 的值。

　　19.如圖，已知正三棱柱 中， ， ，三棱錐 中， ，且 。

　　(1)求證： ;

　　(2)求二面角 的大小;

　　(3)求點 到平面 的距離。

　　20.設函數 ，已知 ，且 (a∈R，且a≠0)，函數 (b∈R，c為正整數)有兩個不同的極值點，且該函數圖象上取得極值的兩點A、B與坐標原點O在同一直線上。

　　(1)試求a、b的值;

　　(2)若 時，函數 的圖象恒在函數 圖象的下方，求正整數 的值。

　　21.已知數列{an}滿足 ， ， ， 為正數　.

　　(1)若 對 恒成立，求m的取值范圍;

　　(2)是否存在 ，使得對任意正整數 都有 ?若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由。

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