五、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)表示
1.二進(jìn)制計(jì)數(shù)制
引入二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)和性能具有如下的優(yōu)點(diǎn):
（1）技術(shù)實(shí)現(xiàn)容易。
（2）二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則簡單。
（3）計(jì)算機(jī)中二進(jìn)制數(shù)的0、1數(shù)碼與邏輯代數(shù)變量值0與1吻合，所以二進(jìn)制同時(shí)可以使計(jì)算機(jī)方便地進(jìn)行邏輯運(yùn)算。
（4）二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系亦不復(fù)雜。
2.任意進(jìn)制計(jì)數(shù)制和十進(jìn)制計(jì)數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換
十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù):
十進(jìn)制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時(shí)，因整數(shù)部分與小數(shù)部分轉(zhuǎn)換算法不同，需要分別進(jìn)行。
（1）整數(shù)轉(zhuǎn)換方法———除基取余法
十進(jìn)制整數(shù)除以2取余數(shù)作最低位系數(shù)k 0 ，再取商的繼續(xù)除以2取余數(shù)作高一位的系數(shù)，如此繼續(xù)直到商為0時(shí)停止，最后一次的余數(shù)就是整數(shù)部分最高有效位的二進(jìn)制系數(shù)，依次所得到的余數(shù)序列就是轉(zhuǎn)換成的二進(jìn)制數(shù)。因?yàn)槌龜?shù)2是二進(jìn)制的基數(shù)，所以這種算法稱作“除基取余”法。
（2）小數(shù)轉(zhuǎn)換方法———乘基取整法
把十進(jìn)制小數(shù)乘以2，取其積的整數(shù)部分作為對(duì)應(yīng)二進(jìn)制小數(shù)的最高位系數(shù)k -1 ，再取積的純小數(shù)部分乘以2，新得積的整數(shù)部分又作下一位的系數(shù)k -2 ，再取其積的純小數(shù)部分繼續(xù)乘2，…，直到乘積小數(shù)部分為0時(shí)停止，這時(shí)乘積的整數(shù)部分是二進(jìn)制數(shù)最低位系數(shù)，每次乘積得到的整數(shù)序列就是所求的二進(jìn)制小數(shù)，這種方法每次乘以基數(shù)取其整數(shù)作系數(shù)。所以叫乘基取整法。需要指出的是并不是所有十進(jìn)制小數(shù)都能轉(zhuǎn)換成有限位的二進(jìn)制小數(shù)并出現(xiàn)乘積的小數(shù)部分0的情況，有時(shí)整個(gè)換算過程會(huì)無限進(jìn)行下去，此時(shí)可以根據(jù)要求并考慮計(jì)算機(jī)字長，取一定長度的位數(shù)后四舍五入，這時(shí)得到的二進(jìn)制數(shù)是原十進(jìn)制數(shù)的近似值。
一個(gè)既有整數(shù)部分又有小數(shù)的數(shù)送入計(jì)算機(jī)后，由機(jī)器把整數(shù)部分按“除基取余”法，小數(shù)部分按“乘基取整”法分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后合并。任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù):
任意一種進(jìn)位計(jì)數(shù)制的數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的方法都是一樣的。把任意進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開成多項(xiàng)式和的形式，把各位的權(quán)與該位上的數(shù)碼相乘，乘積逐項(xiàng)相加，其和便是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意進(jìn)制數(shù):
十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法完全相同，即整數(shù)部分用除基取余的算法，小數(shù)部分用乘基取整的方法，然后將整數(shù)與小數(shù)拼接成一個(gè)數(shù)作為轉(zhuǎn)換的最后結(jié)果。
3.數(shù)的機(jī)器碼表示
符號(hào)數(shù)的機(jī)器碼表示:
（1）機(jī)器數(shù)和真值
數(shù)在計(jì)算機(jī)中的表示形式統(tǒng)稱為機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)有兩個(gè)基本特點(diǎn)，其一，數(shù)的符號(hào)數(shù)值化。實(shí)用的數(shù)據(jù)有正數(shù)和負(fù)數(shù)，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能表示0、1兩種狀態(tài)，數(shù)據(jù)的正號(hào)“+”或負(fù)號(hào)“-”，在機(jī)器里就用一位二進(jìn)制的0或1來區(qū)別。通常這個(gè)符號(hào)放在二進(jìn)制數(shù)的最高位，稱符號(hào)位，以0代表符號(hào)“+”，以1代表符號(hào)“-”，這樣正負(fù)符號(hào)就被數(shù)值化了。因?yàn)橛蟹��?hào)占據(jù)一位，數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值，帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。
機(jī)器數(shù)的另一個(gè)特點(diǎn)是二進(jìn)制的位數(shù)受機(jī)器設(shè)備的限制。機(jī)器內(nèi)部設(shè)備一次能表示的二進(jìn)制位數(shù)叫機(jī)器的字長，一臺(tái)機(jī)器的字長是固定的。字長8位叫一個(gè)字節(jié)（Byte），現(xiàn)在機(jī)器字長一般都是字節(jié)的整數(shù)倍，如字長8位、16位、32位、64位。
符號(hào)位數(shù)值化之后，為能方便的對(duì)機(jī)器數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算、提高運(yùn)算速度，計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了多種符號(hào)位與數(shù)值一起編碼的方法，最常用的機(jī)器數(shù)表示方法有三種:原碼、反碼和補(bǔ)碼。
（2）原碼表示法和反碼表示法
一個(gè)機(jī)器數(shù)X由符號(hào)位和有效數(shù)值兩部分組成。設(shè)符號(hào)位為X 0 ，X真值的絕對(duì)值|X|=X 1 X 2 …X n ，X的機(jī)器數(shù)原碼表示為:
［X]原 =X0X1X2…Xn
當(dāng) X≥0時(shí)，X0 =0
當(dāng) X<0時(shí)，X0 =1
原碼表示很直觀，但原碼加減運(yùn)算時(shí)符號(hào)位不能視同數(shù)值一樣參加運(yùn)算，運(yùn)算規(guī)則復(fù)雜，運(yùn)算時(shí)間長，而計(jì)算機(jī)大量的數(shù)據(jù)處理工作是加減運(yùn)算，原碼表示就很不方便了。
一個(gè)負(fù)數(shù)的原碼符號(hào)位不動(dòng)，其余各位取相反碼就是機(jī)器數(shù)的另一種表示形式———反碼表示法。正數(shù)的反碼與原碼相同。
設(shè)[X]原 =X0X1X2…Xn
當(dāng) X0 =0時(shí)，［X]反 =X0X1X2…Xn
當(dāng) X0 =1時(shí)，［X]反 =X0X1X2…Xn
（3）補(bǔ)碼表示法（complement）
設(shè)計(jì)補(bǔ)碼表示法的目的是:①使符號(hào)位能和有效數(shù)值部分一起參加數(shù)值運(yùn)算從而簡化運(yùn)算規(guī)則，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。②使減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，從而進(jìn)一步簡化計(jì)算機(jī)中運(yùn)算器的線路設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)是一種有限字長的數(shù)字系統(tǒng)，因此都是有模運(yùn)算，超過模的運(yùn)算結(jié)果都將溢出。n位二進(jìn)制整數(shù)的模是2 n 。
對(duì)于二進(jìn)制數(shù)還有一種更加簡單的方法由原碼求得補(bǔ)碼。①正數(shù)的補(bǔ)碼表示與原碼一樣，［X］ 補(bǔ) =［X］ 原
②負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是將原碼符號(hào)位保持“1”之后其余各位取相反的碼，末位加1便得到補(bǔ)碼，即取其原碼的反碼再加1∶［X］ 補(bǔ) =［X］ 反 +1。
真值+0和-0的補(bǔ)碼表示是一致的，但在原碼和反碼表示中具有不同的形式。8位補(bǔ)碼機(jī)器數(shù)可以表示-128，但不存在+128的補(bǔ)碼，由此可知8位二進(jìn)制補(bǔ)碼能表示數(shù)的范圍是-128～+127。應(yīng)該注意，不存在-128的8位原碼和反碼形式。
根據(jù)互補(bǔ)的概念，一個(gè)補(bǔ)碼機(jī)器數(shù)再求一次補(bǔ)就得到機(jī)器數(shù)的原碼了。定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù):
（1）定點(diǎn)數(shù)（fixed-point number）
計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)不僅有符號(hào)，而且大量的數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)不占有二進(jìn)制位而是隱含有機(jī)器數(shù)里某固定位置上。通常采用兩種簡單的約定:一種是約定所有機(jī)器數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置隱含在機(jī)器數(shù)的最低位之后，叫定點(diǎn)純整數(shù)機(jī)器數(shù)，簡稱定點(diǎn)整數(shù)。
另一種約定是所有機(jī)器數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置隱含在符號(hào)位之后、有效數(shù)值部分最高位之前，叫定點(diǎn)純小數(shù)機(jī)器數(shù)，簡稱定點(diǎn)小數(shù)。
計(jì)算機(jī)采用定點(diǎn)數(shù)表示時(shí)，對(duì)于既有整數(shù)又有小數(shù)的原始數(shù)據(jù)，需要設(shè)定一個(gè)比例因子，數(shù)據(jù)按比例因子縮小成定點(diǎn)小數(shù)或擴(kuò)大成定點(diǎn)整數(shù)再參加運(yùn)算，結(jié)果輸出時(shí)再按比例折算成實(shí)際值。n位原碼定點(diǎn)整數(shù)的表示范圍是-（2 n-1 -1）≤X≤2 n-1 -1，n位原碼定點(diǎn)小數(shù)的表示范圍是-（1-2 -（n-1） ）≤X≤1-2 -（n-1） 。當(dāng)機(jī)器數(shù)小于定點(diǎn)數(shù)的最小值時(shí)，被當(dāng)作0處理，超出定點(diǎn)數(shù)的最大值時(shí)，機(jī)器無法表達(dá)，稱作“溢出”，此時(shí)機(jī)器將停止運(yùn)算，屏幕顯示溢出警告。
定點(diǎn)數(shù)表示方法簡單直觀，不過定點(diǎn)數(shù)表示數(shù)的范圍小，不易選擇合適的比例因子，運(yùn)算過程容易產(chǎn)生溢出。
（2）浮點(diǎn)數(shù)（floating-point number）
計(jì)算機(jī)采用浮點(diǎn)數(shù)來表示數(shù)值，它與科學(xué)計(jì)算法相似，把任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)通過移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)位置表示成階碼和尾數(shù)兩部分:N=2 E ×S
其中:E———N的階碼（exponent），是有符號(hào)的整數(shù);
S———N的尾數(shù)（mantissa），是數(shù)值的有效數(shù)字部分，一般規(guī)定取二進(jìn)制定點(diǎn)純小數(shù)形式。
浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算必須化成規(guī)格化形式。所謂規(guī)格化，對(duì)于原碼尾數(shù)應(yīng)使最高數(shù)字位S 1 =1，如果不是1，且尾數(shù)不是全為0時(shí)就要移動(dòng)尾數(shù)直到S 1 =1，階碼相應(yīng)變化，保證N值不變。如果尾數(shù)是補(bǔ)碼，當(dāng)N是正數(shù)時(shí)，S 1 必須是1，而N是負(fù)數(shù)時(shí)，S 1 必須是0，才稱為規(guī)格化的形式。
4.數(shù)字編碼
十進(jìn)制數(shù)在機(jī)內(nèi)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，有時(shí)也以一種中間數(shù)字編碼形式存在，它把每一位十進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制編碼表達(dá)，每一組只表達(dá)0～9的數(shù)值運(yùn)算時(shí)，有專門的電路在每四位二進(jìn)制間按“十”進(jìn)位處理，故稱為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)———BCD碼（Binary Coded Decimal）或稱二—十進(jìn)制數(shù)。其編碼種類很多，如格雷碼、余3碼等，最常用的叫8421BCD碼，4個(gè)二進(jìn)制位自左向右每位的權(quán)分別是8、4、2、1。0～9的8421碼與通常的二進(jìn)制一樣進(jìn)位，十分簡單，當(dāng)計(jì)數(shù)超過9時(shí)，需要采取辦法自動(dòng)向十進(jìn)制高位進(jìn)一，即要進(jìn)行“十進(jìn)制調(diào)整”才能得到正確結(jié)果。
5.校驗(yàn)碼
由于器件質(zhì)量不可靠、線路工藝不過關(guān)、遠(yuǎn)距離傳送帶來的干擾或受來自電源、空間磁場影響等因素，使得信息在存取、傳送和計(jì)算過程中難免會(huì)發(fā)生諸如“1”誤變?yōu)椤?”的錯(cuò)誤，計(jì)算機(jī)一旦出錯(cuò)，要能及時(shí)檢測并糾正錯(cuò)誤，其中一種方法是對(duì)數(shù)據(jù)信息擴(kuò)充，加入新的代碼，它與原數(shù)據(jù)信息一起按某種規(guī)律編碼后具有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的能力，有的甚至能指出錯(cuò)誤所在的準(zhǔn)確位置使機(jī)器自動(dòng)糾正，能起這種作用的編碼叫“校驗(yàn)碼”（check code）。
奇偶校驗(yàn)碼:
將每個(gè)數(shù)據(jù)代碼擴(kuò)展一個(gè)二進(jìn)位作校驗(yàn)位（parity bit），這個(gè)校驗(yàn)取0還是取1的原則是:若是奇校驗(yàn)（odd parity），編碼是含“1”的個(gè)數(shù)連同校驗(yàn)位的取值在內(nèi)共有奇數(shù)個(gè)“1”;若是偶校驗(yàn)（even parity），連同校驗(yàn)位在內(nèi)編碼里含“1”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)。
交*校驗(yàn):
計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量字節(jié)傳送時(shí)一次傳送幾百甚至更多字節(jié)組成的數(shù)據(jù)塊，如果不僅每一個(gè)字節(jié)有一個(gè)奇偶校驗(yàn)位———稱橫向校驗(yàn)，而且全部字節(jié)的同一位也設(shè)置了一個(gè)奇偶校驗(yàn)位———稱縱向校驗(yàn)，對(duì)數(shù)據(jù)塊代碼的橫向縱向同時(shí)校驗(yàn)，這種情況叫交*校驗(yàn)。循環(huán)冗余校驗(yàn)碼———CRC碼（Cyclic Redundancy Check）:
計(jì)算機(jī)信息傳向遠(yuǎn)方終端或傳到另一個(gè)計(jì)算中心時(shí)，信息沿一條通信線路一位位傳送，這種通信方式叫串行通信。循環(huán)冗余碼（簡稱CRC碼）就是一種檢驗(yàn)?zāi)芰�很�?qiáng)，在串行通信中廣泛采用的校驗(yàn)編碼。
（1）CRC碼
串行傳送的信息M（X）是一串k位二進(jìn)制序列，在它被發(fā)送的同時(shí)，被一個(gè)事先選擇的“生成多項(xiàng)式”相除，“生成多項(xiàng)式”長r+1位，相除后得到r位余數(shù)就是校驗(yàn)位，它拼接到原k位有效信息后面即形成CRC碼。CRC碼到達(dá)接收方時(shí)，接收方的設(shè)備一方面接收CRC碼，一方面用同樣的生成多項(xiàng)式相除，如果正好除盡，表示無信息差錯(cuò)，接收方去掉CRC碼后面r位校驗(yàn)位，收下k位有效信息;當(dāng)不能除盡時(shí)，說明有信息的狀態(tài)位發(fā)生了轉(zhuǎn)變，即出錯(cuò)了。一般要求重新傳送一次或立即糾錯(cuò)。
（2）CRC碼計(jì)算
傳送信息時(shí)生成CRC碼以及接收時(shí)對(duì)CRC碼校驗(yàn)都要與“生成多項(xiàng)式”相除，這里除法是“模2運(yùn)算”，即二進(jìn)位運(yùn)算時(shí)不考慮進(jìn)位和借位。作模2除法時(shí)，取商的原則是當(dāng)部分余數(shù)首位為1時(shí)商取1，反之商取0，然后按模2減，求部分余數(shù)。這個(gè)余數(shù)不計(jì)高位。當(dāng)被除數(shù)逐位除完時(shí)，最后余數(shù)的位數(shù)比除數(shù)少一位。該余數(shù)就是校驗(yàn)位。它拼接在有效信息后面組成CRC碼。因?yàn)樾ｒ?yàn)位擴(kuò)充了傳送部分的代碼，所以這是一種基于“冗余校驗(yàn)”的思想的校驗(yàn)辦法。
（3）生成多項(xiàng)式
CRC碼是M（X）除以某一個(gè)預(yù)先選定的多項(xiàng)式后產(chǎn)生的，所以這個(gè)多項(xiàng)式叫生成多項(xiàng)式。并不是任何一個(gè)r+1位的編碼都可以作生成多項(xiàng)式用，它應(yīng)能滿足當(dāng)任何一位發(fā)生傳送錯(cuò)誤時(shí)都能使余數(shù)不為0，并且不同位發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)當(dāng)使余數(shù)也不同，這樣不但能檢錯(cuò)而且能推斷是哪一位出錯(cuò)，從而有利于準(zhǔn)確的糾錯(cuò)。有兩個(gè)生成多項(xiàng)式，其檢錯(cuò)率很高。
X16+X15+X2+1
X16+X12+X6+1